реферат
Главная

Рефераты по зарубежной литературе

Рефераты по логике

Рефераты по маркетингу

Рефераты по международному публичному праву

Рефераты по международному частному праву

Рефераты по международным отношениям

Рефераты по культуре и искусству

Рефераты по менеджменту

Рефераты по металлургии

Рефераты по муниципальному праву

Рефераты по налогообложению

Рефераты по оккультизму и уфологии

Рефераты по педагогике

Рефераты по политологии

Рефераты по праву

Биографии

Рефераты по предпринимательству

Рефераты по психологии

Рефераты по радиоэлектронике

Рефераты по риторике

Рефераты по социологии

Рефераты по статистике

Рефераты по страхованию

Рефераты по строительству

Рефераты по схемотехнике

Рефераты по таможенной системе

Сочинения по литературе и русскому языку

Рефераты по теории государства и права

Рефераты по теории организации

Рефераты по теплотехнике

Рефераты по технологии

Рефераты по товароведению

Рефераты по транспорту

Рефераты по трудовому праву

Рефераты по туризму

Рефераты по уголовному праву и процессу

Рефераты по управлению

Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

Содержание

Введение

§1. Определение линейного оператора. Примеры

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§5. Оператор интегрирования

§6. Оператор дифференцирования

§7. Оператор сдвига

Заключение


Введение

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=.

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/(x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b]. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.


§1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1. Пусть Ex и Ey [1]– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex ® Ey называется линейным оператором, если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа  выполняются следующие равенства [2]:

1.  А(х1+х2) = Ах1 + Ах2;

2.  А(х) = А(х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x  Е.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D[a,b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a,b] задан формулой:

Дf(x) = f/(x).

Где f(x)  D[a, b], f/(x)  C[a, b].

Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С[-, +] – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:

Аf(x) = f(x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

4) Пусть  (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение 1, заданное формулой:

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.


§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть ,  – нормированные пространства.

Определение 2 .Оператор А: Е  Е1 называется непрерывным в точке , если какова бы не была последовательность xn  x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0)  0, p (А(xn), А(x0))  0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность[3] U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V)  U.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x0) < , p (f(x), f(x0)) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность точек пространства хn®х1, тогда хn–х1®0, отсюда А(хn–х1)®А(0)=0, т. е. А(хn–х1)®0.

Так как А – это линейный оператор, то А(хn–х1)®Ахn–Ах0, а тогда

Ахn-Ах0 ® 0, или Ахn®Ах0.

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1] и yn(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

 p (yn, y) = |yn(x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)|  |yn(x)- y(x))|=p(yn,y),

то есть p (F(yn), F(y))  0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е  Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx||  K||x||.                (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k  S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn  S, то выполняется неравенство: |А(x)|  kn||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)|  k||x||, где (xE), (k  S).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4].

||А||  K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)|  ||А||||x||, где

||А|| =     xE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx||  K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||<   ||Ax|| < .

Выберем  так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит  = , тогда если ||x||< , то ||Аx||  K||x|| < K =  

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в  точке.

Достаточность:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||.

Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д.

Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где

||yn|| = .

Следовательно последовательность yn  0 при n  .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn  0, однако

||Аyn || = ||A|| = ||Axn || > n|| xn|| = 1, получаем противоречие с Аyn  0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) =  в C[a, b], где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.

||  || = |y(x)|||  |y(x)|||;

||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = ||  .

Таким образом, норма F(y) =  будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| =  = 1.


§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть ,  – нормированные пространства,  – линейный оператор, DA- область определения оператора, а RA – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор  имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0  m*||x||, отсюда ||x||  0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A-1y, норма ||A-1y||=||x||, но ||x||  ||Ax||=||y||.

Отсюда ||A-1y||  ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A-1||=.

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A-1y||  М||y||.

Подставляем значение y и значение A-1y,получим ||x||  M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax||  ||x||.

Положим =m, получим ||Ax||  m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1)  уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)-1 при этом не существует;

2)  существует ограниченный оператор (А – λI)-1, то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3)  оператор (А – λI)-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений λ называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8. Оператор , где  – регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6] оператора А и обозначается  (или ).

Теорема 5. Пусть  – линейный непрерывный оператор,  его регулярные числа. Тогда .

Доказательство. Умножим обе части равенства на : (==. С другой стороны  получим . Так как числа  – регулярные для оператора А, то оператор  имеет обратный. Значит, из равенства  следует, что . Значит, утверждение теоремы верно.

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:

tx(t) - x(t) = y(t),

решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если  лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

x(t) = y(t),

откуда следует, что все такие значения параметра  являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R(y) = y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть 0  [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке 0, y(0) = a  0. Для такой функции равенство (t - 0)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = 0 левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при  = 0 уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность 0 спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0,   [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор А действующий из Е  Е, задается матрицей А=.

Аx =  = .

Введем обозначения:

 = y1

 = y2

x1, x2, y1, y2  E;

A - *I = , найдем определитель A - *I:

D(A - *I) =  = (2-)*(-2-) – 3 = 2 – 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если  не есть корень уравнения 2 – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра  регулярные.

Корни уравнения 2 – 7 = 0 образуют спектр:

1 = ; 2 = -;

1, 2 – собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений :

при  =  получаем:

откуда x1 = (2+)x2; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);

при  = - получаем:

откуда x1 = (2 - )x2 ; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);


§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство  непрерывных на отрезке  функций, и оператор А, заданный формулой:

Ах(t) = g(t) x(t).

g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(x), f0(x))  0        p (A fn(x), Af0(x)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|.

Решение:

p (A xn(t), Ax0(t)) = |Axn(t) - Ax0(t)| = |xn(t)g(t) - x0(t)g(t)|   |g(t)| |xn(t) - x0(t)| = |g(t)|p (xn(t), x0(t))  0.

Итак, p (A xn(t), Ax0(t))  0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.

4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.

По определению 5: ||A||=|A(f)|.

Решение.

||A||=|A(f)|=|g(t)x(t)|.

|g(t)x(t)|  |g(t) x(t)| = |g(t)| |x(t)|  |x(t)| |g(t)|.

||A||= |x(t)| |g(t)| =  ||x(t)|| |g(t)|  |g(t)|.

Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.

5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.

Возьмем произвольное число  и составим оператор :

(А-lI) x(t) = (g(t) –l ) х(t).

Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение   относительно функции . Это возможно, если  для любого :

.

Если число  не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция  непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке . Отсюда следует, что оператор  является ограниченным.

Если же , то оператор  не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).

Резольвента оператора имеет вид .

Отметим, что точки спектра , , не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции , для которой , или . Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.

Вывод:

Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) - функция, непрерывная на [a, b], a,bR:

1.   линейный;

2.  непрерывный;

3.  ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;

4.  обратим при , для любого ;

5.  спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;

6.  резольвента имеет вид .


§5. Оператор интегрирования

Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:

Аf(t) = .

f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t  [a,x]; x  [a,b]; a,bR;

Поскольку  - интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a  x  b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.

Проверим оператор A на линейность. По определению 1:

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) =  =  +  = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).

A(kf) =  = k* = kA(f).

Исходя из свойств интеграла:

1.  интеграл от суммы, есть сумма интегралов;

2.  вынесение const за знак интеграла.

Можно сделать вывод: оператор А является линейным.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(t), f0(t))  0        p (A fn(t), Af0(t)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(t), f0(t)) = | fn(t) - f0(t)|.

Решение:

p (A fn(t), Af0(t)) = | - |.

| - | = ||     = p (fn(t), f0(t))  = p (fn(t), f0(t)) (x-a)  0

axb.

Таким образом p (A fn(t), Af0(t))  0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):

||  ||  ||

|| = 0; || = |b-a|.

0  ||  |b-a|.

5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=|A(f)|):

||A|| = |A(f)| =  ||     = (x-a);

a  x  b;

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f  C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

x  [0,b], t  [0,x];

Найдем оператор обратный к (A - *I),   R;

(A - *I)*f = g

 - *f(x) = g(x)          (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

f - *f/ = g/           (2)

Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

 - f/ =

 -  + f/ = 0           (3)

Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:

 - *U*V + U/ *V + U*V/  = 0

U/ *V + U*V/ - *U*V = -

U/ *V + U*(V/ - *V) = -          (4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V/ - *V = 0

V/ = *V

 = *V

 =

LnV =  + c

V = *, пусть  = с1

V = с1*

Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V/ - *V = 0.

Получим уравнение:

U/ * с1* = -

 = -

 = - *

U = -*

Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:

f(x) = с1**(-)*

найдем интеграл Y = , интегрируем по частям:

dz = g/(x)dx;

z =  = g(x);

j = ;

dj = - *dx;

Y = g(x)*  + *

Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:

f(x) = - - **;

Получим оператор В:

Bg = - - **;

x  [0,b], t  [0,x], g(x)  S,  - произвольное число.

Оператор В не существует, если  = 0;

Рассмотрим ограниченность оператора В для всех   R,   0;

||Bg|| = ||f(x)|| = |f(x)| = |- - **|  (|| + |**|)  || + |**|  || + |*|*|g(x)* |*|x|  *|g(x)| + *|g(x)|* (||*|x|)  |g(x)|*(  + ***b);

При  > 0

 = ;

 = 1;

При  < 0

 =1;

 = ;

Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, }, тогда

|g(x)|*(  + ***b)  |g(x)|*(  + *{1, }*b) = ||g(x)||*(  + *{1, }*b);

Итак:

||Bg||  ||g(x)||*(  + *{1, }*b);

То есть В – ограничен.

Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A - *I).

Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A - *I)*(Bg) = g(x).

Итак, нужно доказать, что

 + g(x) + * = g(x)

или

-* -  + ** = 0;    (*)

Возьмем производную от левой части (*) и получим:

-*g(x) - ** + ** + *** g(x) = -*g(x) + *g(x) - ** + ** = 0;

Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A - *I) в S.

Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A - *I), который существует при    R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение  при которых В не существует, то есть =0.

Вывод:

Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t  [a,x]; x  [a,b]; a,bR:

1.  линейный;

2.  непрерывный;

3.  ограниченный: 0  ||  |b-a|;

4.  норма A: ||A|| = (b-a);

5.   резольвента оператора А: R(A) = - - **, где

x  [0,b], t  [0,x], g(x)  S, S = {f  C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||=|f(x)|, g(x) =  - *f(x), - произвольное число.

6.  Спектр оператора А: =0.


§6. Оператор дифференцирования.

Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом:

Дf(x) = f/(x);

Функция f(x)  D[a, b], f/(x)  C[a, b];

Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:

1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).

Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g).

2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).

Д(kf) = (kf) / = k(f)/ = kД(f).

Исходя из свойств производной:

1.  производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;

2.  постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Можно утверждать, что Д – линейный оператор.

3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.

3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.

Задан оператор Дf(x) = f/(x) подпространства E  C[0, 2], состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2].

Рассмотрим f0(x) = 0  C[0, 2] и последовательность функций fn(x)=.

В пространстве E  C[0, 2]: p (f0, fn) = || =   0, следовательно fn   f0.

Рассмотрим последовательность образов: Д(fn ) = cos(nx).

Имеем:

p (Дfn, Дf0) = |cos(nx)|   = 1.

Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0 , то есть отображение Д терпит разрыв в f0.

Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.

3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.

Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1], оператор Дf(x) = f/(x);

Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.

В пространстве C[0, 1] норма ||f|| = |f(t)|.

Возьмем из C[0, 1] последовательность fn(t) = tn. Она ограничена в C[0, 1]: ||fn(t)|| = |tn| = 1.

Рассмотрим Д fn(t): Д fn(t) = f/n(t) = n tn-1;

||f/n(t)|| = |n tn-1| = n.

В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.

Вывод:

Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f/(x), где функция f(x)  D[a, b], f/(x)  C[a, b]:

1.  линейный;

2.  не ограниченный;

3.  не непрерывный.


§7. Оператор сдвига

Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[], заданный следующим образом:

Af(x) = f(x+a).

Функции f(x), f(x+a)  C[], a  R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.

Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :

1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).

А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

По определению суммы функции, аксиома верна.

2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).

A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).

Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(x), f0(x))  0        p (A fn(x), Af0(x)) 0.

Оператор А действует в пространстве C[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|.

Решение:

p (A fn(x), Af0(x)) = |Afn(x) - Af0(x)| = |fn(x+a) - f0(x+a)| =  = |fn(t) - f0(t)| = p (fn(t), f0(t))  0.

Таким образом p (A fn(x), Af0(x))  0. Следовательно оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):

||A|| = |Af| = |f(x+a)|  1.

Поскольку ||f|| = |f(x)|  1.

Норма А: ||A|| = 1.

5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)

Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):

A-1f(x) = f(x-a).

6) Спектр оператора А.

Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, +), имеющих конечный предел на :

Af(x) = f(x+a), a0.

Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+).

Введем функцию V(x) =  при ||<1, 0, найдем ее предел:

 = 0

Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С[0,+).

Теперь рассмотрим V(x+a) =  = * = *V(x).

Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x  а и не равную 0 при x  [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению  V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1  точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга  точечному спектру.

Покажем, что остальные точки окружности  точечному спектру оператора А в пространстве С[0, +).

Рассмотрим U(x) =  и число  =  (|| = 1);

U(x+a) =  =   = U(x);

U(x) =  = Cos() + iSin(), принадлежит пространству С[0,b) так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С[a, +) так как не имеют конечного предела на .

Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.

Покажем, что в пространстве С[0, +) точки  = ,   2n не будут собственными числами.

Докажем это от противного: пусть найдется  = ,   2n – собственное число, тогда найдется функция f(x)  С[0, +), что

f(x+a) = f(x).

Применим оператор А n раз: f(x+n*a) = nf(x), тогда

 f(x+na) = nf(x), у левой части предел конечен;

правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность n =  = Cos(n) + iSin(n).

Следовательно  = ,   2n собственным числом не является.

Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0,+), так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0, +).

Сделаем вывод:

При ||>1 все точки регулярные;

При ||<1 и =1 – точки спектра;

При  = ,   2n – точки непрерывного спектра.

Вывод:

Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a)  C[], a  R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:

1.  линейный;

2.  непрерывный и ограниченный;

3.  норма А: ||A|| = 1;

4.  A-1f(x) = f(x-a);

5.  Спектр оператора А:

·  при ||<1 и =1 – точки спектра;

·  при  = ,   2n – точки непрерывного спектра;

·  При ||>1 все точки регулярные.


Заключение

В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.


Список литературы

1.   Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972.

2.   Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968.

3.   Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978.

4.   Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.


[1] Ex и Ey  - линейные многообразия, то есть если x, y  Ex , то x + y  Ey , при  , .

Ex – область определения А;

Ey  - область значения А;

[2] Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;

[3]Шаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p (xn, x0) < а.

Шар D(x0, a).

Если p (xn, x0)  а, то D(x0, a) – замкнутый шар.

Если p (xn, x0) = а, то S(x0, a) – сфера.

Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y, называется окрестностью точки y.

 

[4]Свойства нормы оператора.

1) Если оператор  ограничен, , то и оператор  ограничен, причем .

2) Если операторы  ограничены, то и оператор  ограничен, причем  и .

 

[5]Линейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.

[6] Резольвента – это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.



© 2011 Онлайн база рефератов, курсовых работ и дипломных работ.